머리말
1부 리만 가설
1. 고대, 중세, 현대의 수에 관한 생각들
2. 소수란 무엇인가?
3. “이름이 붙은” 소수
4. 체(sieves
5. 누구라도 물을 수 있는 소수에 관한 질문들
6. 소수에 관한 더 많은 질문들
7. 얼마나 많은 소수가 존재하는가?
8. 멀리서 바라본 소수들
9. 순수 수학과 응용 수학
10. 최초의 확률적 추측
11. “좋은 근사”란 무엇인가?
12. 제곱근 오차와 임의보행(random walk
13. 리만 가설이란 무엇인가? (첫 번째 공식화
14. 미스터리는 오차항으로 옮겨간다
15. 세자로 스무딩(Cesaro Smoothing
16. lLi(X-파이(Xl 보기
17. 소수 정리
18. 소수의 계단에 담긴 정보
19. 소수의 계단 손보기
20. 도대체 컴퓨터 음악 파일과 데이터 압축, 소수가 서로 무슨 상관이 있을까?
21. “스펙트럼(Spectrum”이라는 단어
22. 스펙트럼과 삼각함수들의 합
23. 스펙트럼과 소수의 계단
24. 1부의 독자들에게
2부 초함수(Distribution
25. 미적분학은 기울기가 없는 그래프의 기울기를 어떻게 구할 수 있을까?
26. 초함수: 무한대로 보내더라도 근사함수 뾰족하게 만들기
27. 푸리에 변환: 두 번째 방문
28. 델타 함수의 푸리에 변환은 무엇인가?
29. 삼각급수
30. 3부에 대한 간단한 개요
3부 소수의 리만 스펙트럼
31. 정보를 잃지 않고서
32. 소수에서부터 리만 스펙트럼으로 가는 길
33. 얼마나 많은 세타_i들이 존재할까?
34. 리만 스펙트럼에 대한 추가 질문들
35. 리만 스펙트럼에서부터 소수로 가기
4부 리만으로 돌아가다
36. 스펙트럼으로부터 어떻게 파이(X를 만들까? (리만의 방법
37. 리만의 예견대로 제타 함수가 소수의 계단을 리만 스펙트럼과 연결하다
38. 제타 함수의 동반자들
미주
그림 출처
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▼리만 가설
소수의 목록을 아무리 살펴봐도 다음 소수가 언제 나타날지 예측하기는 불가능하다. 소수의 출현은 혼란스럽고 임의적이며, 다음 소수를 어찌 찾을 것인지에 대해 어떠한 실마리도 주지 않는다. 전 막스 플랑크 수학연구소장 돈 자이에의 표현을 빌리자면 소수는 “수학자들이 연구하는 것 중에서 가장 제멋대로이고 성질 고약한 대상으로, 자연수 사이에서 마치 잡초처럼 자라고 우연의 법칙 외에는 다른 어떠한 법칙도 따르지 않는 것처럼 보인다”. 소수의 목록은 수학의 심장 박동이지만, 독한 카페인에 취한 듯 마냥 불규칙적이다.
그러나 ...
▼리만 가설
소수의 목록을 아무리 살펴봐도 다음 소수가 언제 나타날지 예측하기는 불가능하다. 소수의 출현은 혼란스럽고 임의적이며, 다음 소수를 어찌 찾을 것인지에 대해 어떠한 실마리도 주지 않는다. 전 막스 플랑크 수학연구소장 돈 자이에의 표현을 빌리자면 소수는 “수학자들이 연구하는 것 중에서 가장 제멋대로이고 성질 고약한 대상으로, 자연수 사이에서 마치 잡초처럼 자라고 우연의 법칙 외에는 다른 어떠한 법칙도 따르지 않는 것처럼 보인다”. 소수의 목록은 수학의 심장 박동이지만, 독한 카페인에 취한 듯 마냥 불규칙적이다.
그러나 소수의 세계가 무질서의 지배를 받지 않을 것이라는 믿음이 오늘날 수학계를 지배하고 있다. 이 믿음에 결정적 근거를 제공한 이는 괴팅겐의 수학자 베른하르트 리만이다. 1859년 리만은 오일러의 아이디어(제타함수를 극적으로 새로운 방식으로 발전시켜 소위 리만 제타함수라는 것을 정의했다. 이 제타함수가 내놓는 여러 결과 중 하나는 어떤 범위 X까지의 소수의 개수를 구하는 “정확한 공식”이었다.
▼리만 가설의 중요성
리만 가설로 불리는 이 추측은 그것을 참이라고 가정하며 시작하는 500개 이상의 또 다른 결론들을 낳았으며 오늘날 수학의 가장 어렵고 가장 중요한 미해결 문제로 널리 인식되고 있다. 리만 가설은 증명이 어렵기도 하지만 증명으로 인한 파급효과 역시 엄청날 것으로 예상된다. 그 증명은 정수론
